TOLONG DI JAWAK Kk :)
1. Terbukti bahwa [tex]3+7+15+19+...+(4k-1)=2k^2+k[/tex].
2. Terbukti bahwa [tex]\displaystyle{1+4+7+10+13+...+3n-2=\frac{3n^2-n}{2}}[/tex].
PEMBAHASAN
Induksi matematika merupakan salah satu metode untuk membuktikan suatu rumus dalam matematika. Ada 3 tahapan dalam induksi matematika :
1. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1.
2. Mengasumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k.
3. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k+1.
.
DIKETAHUI
[tex]1.~~3+7+15+19+...+(4n-1)=2n^2+n[/tex]
[tex]\displaystyle{2.~~1+4+7+10+13+...+3n-2=\frac{3n^2-n}{2}}[/tex]
.
DITANYA
Buktikan pernyataan tersebut menggunakan induksi matematika.
.
PENYELESAIAN
Soal 1.
[tex]3+7+15+19+...+(4n-1)=2n^2+n[/tex]
1. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1.
Untuk n = 1 :
[tex]4(1)-1=2(1)^2+1[/tex]
[tex]3=3[/tex]
Untuk n = 1 bernilai benar.
.
2. Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k.
[tex]3+7+15+19+...+(4k-1)=2k^2+k[/tex]
.
3. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k+1.
[tex]3+7+15+19+...+(4n-1)=2n^2+n[/tex]
[tex]\underbrace{3+7+15+19+...+(4k-1)}_{=2k^2+k}+[4(k+1)-1]=2(k+1)^2+(k+1)[/tex]
[tex]2k^2+k+4k+4-1=(k+1)[2(k+1)+1][/tex]
[tex]2k^2+5k+3=(k+1)(2k+3)[/tex]
[tex](k+1)(2k+3)=(k+1)(2k+3)[/tex]
Untuk n = k+1 bernilai benar.
.
Karena ketiga syarat induksi matematika bernilai benar, maka terbukti bahwa [tex]3+7+15+19+...+(4k-1)=2k^2+k[/tex].
.
.
Soal 2.
[tex]\displaystyle{1+4+7+10+13+...+3n-2=\frac{3n^2-n}{2}}[/tex]
.
1. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1.
Untuk n = 1 :
[tex]\displaystyle{3(1)-2=\frac{3(1)^2-1}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{1=\frac{2}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{1=1}[/tex]
Untuk n = 1 bernilai benar.
.
2. Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k.
[tex]\displaystyle{1+4+7+10+13+...+3k-2=\frac{3k^2-k}{2}}[/tex]
.
3. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k+1.
[tex]\displaystyle{1+4+7+10+13+...+3n-2=\frac{3n^2-n}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\underbrace{1+4+7+10+13+...+(3k-2)}_{=\frac{3k^2-k}{2}}+[3(k+1)-2]=\frac{3(k+1)^2-(k+1)}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{3k^2-k}{2}+(3k+1)=\frac{(k+1)[3(k+1)-1]}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{3k^2-k}{2}+\frac{2(3k+1)}{2}=\frac{(k+1)(3k+2)}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{3k^2-k+6k+2}{2}=\frac{(k+1)(3k+2)}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{3k^2+5k+2}{2}=\frac{(k+1)(3k+2)}{2}}[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{(k+1)(3k+2)}{2}=\frac{(k+1)(3k+2)}{2}}[/tex]
Untuk n = k + 1 bernilai benar.
.
Karena ketiga syarat induksi matematika bernilai benar, maka terbukti bahwa [tex]\displaystyle{1+4+7+10+13+...+3n-2=\frac{3n^2-n}{2}}[/tex].
.
KESIMPULAN
1. Terbukti bahwa [tex]3+7+15+19+...+(4k-1)=2k^2+k[/tex].
2. Terbukti bahwa [tex]\displaystyle{1+4+7+10+13+...+3n-2=\frac{3n^2-n}{2}}[/tex].
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Contoh induksi matematika : https://brainly.co.id/tugas/43126425
- Contoh induksi matematika : https://brainly.co.id/tugas/42843671
- Contoh induksi matematika : https://brainly.co.id/tugas/42479281
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 11
Mapel : Matematika
Bab : Induksi Matematika
Kode Kategorisasi : 11.2.2
[answer.2.content]
